การแก้สมการกำลังสอง

แก้สมการกำลังสอง

• ก. สมการกำลังสองคืออะไร?
• ข. แก้สมการกำลังสอง
• ค. แก้สมการกำลังสองในใจ
• D. การใช้สูตรเวียด-เอต
  • ทฤษฎีบทเวียตนาม
  • ทฤษฎีบทย้อนกลับของเวียด-เอต
• ง. ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสอง
• F. การแยกตัวประกอบ
• ก. การแก้สมการกำลังสองที่มีพารามิเตอร์

ก. สมการกำลังสองคืออะไร?

สมการกำลังสอง คือ สมการที่มีรูปแบบ (a≠0) (1)

โดยที่ x เป็นตัวแปรที่ไม่ทราบค่า และเนื่องจากมีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าเพียง 1 ตัว จึงเรียกว่าสมการ "ตัวแปรเดียว" ตัวเลข a, b และ c เป็นตัวเลขที่ทราบแล้ว เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของสมการ สามารถแยกแยะได้โดยการเรียกตามลำดับดังนี้: ค่าสัมประสิทธิ์กำลังสอง, ค่าสัมประสิทธิ์อันดับหนึ่ง และค่าสัมประสิทธิ์อิสระหรือค่าคงที่

สมการกำลังสองคือสมการพหุนามประเภทหนึ่งซึ่งประกอบด้วยเลขยกกำลังของ x ซึ่งเป็นจำนวนธรรมชาติเท่านั้น

การแก้สมการกำลังสอง คือ การหาค่า x ที่จะแทน x ลงในสมการ (1) จะได้ว่า ax2+bx+c=0 มีสี่วิธีทั่วไปในการแก้สมการกำลังสอง: การแยกตัวประกอบ วิธีการรากที่สอง; ใช้สูตรราก; กราฟ.

ข. แก้สมการกำลังสอง

ขั้นตอนที่ 1:คำนวณΔ=b2-4ac

ขั้นตอนที่ 2:เปรียบเทียบ Δ กับ 0

• Δ < 0=""> สมการ (1) ไม่มีคำตอบ
• Δ = 0 => สมการ (1) มีคำตอบสองเท่า
• Δ > 0 => สมการ (1) มี 2 คำตอบที่แตกต่างกัน เราใช้สูตร คำตอบต่อไปนี้ :

และ

ค. แก้สมการกำลังสองในใจ

• หากสมการมีa + b + c = 0แสดงว่าสมการนั้นมีคำตอบ
• หากสมการมีa - b + c = 0สมการจะมีคำตอบดังนี้:

D. การใช้สูตรเวียด-เอต

ทฤษฎีบทเวียตนาม

หากเป็นคำตอบของสมการแล้ว

ทฤษฎีบทย้อนกลับของเวียด-เอต

ถ้ามีสองจำนวนแล้วจำนวนเหล่านั้นจะเป็นคำตอบของสมการ (มีอยู่เมื่อ)

ง. ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 1:แก้สมการกำลังสองต่อไปนี้: x2 - 49x - 50 = 0

คำแนะนำการแก้ปัญหา

วิธีที่ 1:ใช้สูตรราก (a = 1; b = -49; c = -50)

เนื่องจาก ∆ > 0 สมการจึงมีคำตอบที่แตกต่างกันสองแบบ

วิธีที่ 2 :การคำนวณในใจ

เนื่องจาก a – b + c = -1 – (-49) + (-50) = 0

ดังนั้นสมการจึงมีสองคำตอบ

วิธีที่ 3:

ตามทฤษฎีบทของเวียด เรามี:

ดังนั้นสมการนี้มีสองวิธี:

ตัวอย่างที่ 2 :แก้สมการ 4x2 - 2x - 6 = 0 (2)

Δ=(-2)2 - 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => สมการ (2) ที่กำหนดมี 2 คำตอบที่แตกต่างกัน

และ

คุณสามารถคำนวณวิธีแก้ได้อย่างรวดเร็วโดยการคำนวณในใจ เพราะคุณเห็นว่า 4-(-2)+6=0 ดังนั้น x1 = -1, x2 = -c/a = -(-6)/4=3/2 วิธีแก้ไขก็เหมือนข้างต้นครับ

ตัวอย่างที่ 3: แก้สมการ 2x2 - 7x + 3 = 0 (3)

คำนวณ Δ = (-7)2 - 4.2.3 = 49 - 24= 25 > 0 => (3) มี 2 วิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกัน:

และ

วิธีตรวจสอบว่าคุณคำนวณคำตอบได้อย่างถูกต้องหรือไม่นั้นง่ายมาก เพียงแค่แทนค่า x1, x2 ลงในสมการ 3 ตามลำดับ ถ้าผลลัพธ์เป็น 0 แสดงว่าถูกต้อง เช่น แทนที่ x1, 2.32-7.3+3=0

ตัวอย่างที่ 4: แก้สมการ 3x2 + 2x + 5 = 0 (4)

คำนวณ Δ = 22 - 4.3.5 = -56 < 0=""> สมการ (4) ไม่มีคำตอบ

ตัวอย่างที่ 5: แก้สมการ x2 – 4x +4 = 0 (5)

คำนวณ Δ = (-4)2 - 4.4.1 = 0 => สมการ (5) มีคำตอบสองเท่า:

จริงๆ แล้ว หากคุณมีไหวพริบ คุณจะมองเห็นได้ว่านี่คืออัตลักษณ์ที่น่าจดจำ (ab)2 = a2 - 2ab + b2 ดังนั้นจึงสามารถเขียน (5) ใหม่ได้ง่ายๆ เป็น (x - 2)2 = 0 <=> x=2

F. การแยกตัวประกอบของพหุนาม

หากสมการ (1) มีคำตอบที่แตกต่างกันสองคำตอบคือ x1, x2 คุณสามารถเขียนในรูปแบบต่อไปนี้ได้เสมอ: ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2) = 0

กลับไปที่สมการ (2) หลังจากหาคำตอบได้ 2 วิธี คือ x1, x2 คุณสามารถเขียนในรูปแบบนี้ได้ดังนี้: 4(x-3/2)(x+1)=0

ก. การแก้สมการกำลังสองที่มีพารามิเตอร์

1. สมการพร้อมคำตอบ

2. สมการที่ไม่มีคำตอบ

3. สมการมีคำตอบเฉพาะ (คำตอบสองเท่าหรือคำตอบที่เท่ากันสองคำตอบ)

4. สมการนี้มีคำตอบที่แตกต่างกันอย่างชัดเจน 2 คำตอบ

5. สมการมีสองคำตอบที่มีเครื่องหมายเดียวกัน

6. สมการมีสองคำตอบที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม

7. สมการมีรากที่เป็นบวก 2 ตัว (รากที่มากกว่า 0 2 ตัว)

8. สมการมีรากลบ 2 ตัว (รากที่น้อยกว่า 0 2 ตัว)

9. สมการนี้มีคำตอบตรงกันข้ามกันสองคำตอบ

10. คำตอบสองทางผกผัน

สิ่งที่ต้องจำ:

ควบคู่ไปกับสมการกำลังสองนั้นยังมีทฤษฎีบทของเวียดซึ่งประยุกต์ใช้ได้หลายทาง เช่น การคำนวณค่ารากของสมการกำลังสองที่กล่าวไว้ข้างต้นในใจ การหาตัวเลข 2 ตัวเมื่อทราบผลรวมและผลคูณ การหาเครื่องหมายของราก หรือการแยกตัวประกอบ นี่คือความรู้ทั้งหมดที่จำเป็นที่จะเชื่อมโยงกับคุณในกระบวนการเรียนรู้พีชคณิตหรือในแบบฝึกหัดการแก้และอภิปรายสมการกำลังสองในภายหลัง ดังนั้นคุณต้องจำไว้อย่างระมัดระวังและฝึกฝนอย่างคล่องแคล่ว

หากคุณตั้งใจที่จะศึกษาด้านการเขียนโปรแกรมคุณจะต้องมีความรู้คณิตศาสตร์พื้นฐาน หรือแม้แต่ความรู้คณิตศาสตร์ขั้นสูง ขึ้นอยู่กับโครงการที่คุณจะทำ