จำนวนกำลังสองสมบูรณ์คืออะไร? วิธีการจดจำและตัวอย่างโดยละเอียด

จำนวนกำลังสองสมบูรณ์ คือ จำนวนที่เท่ากับกำลังสองของจำนวนเต็ม มาเรียนรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติ การจดจำ และการคำนวณของจำนวนยกกำลังสองในบทความด้านล่างนี้ เพื่อทำความเข้าใจจำนวนประเภทนี้ได้ดีขึ้น

สารบัญ

• จำนวนกำลังสองสมบูรณ์คืออะไร?
  • วิธีการระบุจำนวนกำลังสอง
  • การหารลงตัวของจำนวนกำลังสอง
  • จำนวนกำลังสองที่เล็กที่สุด
  • จำนวนกำลังสองที่ใหญ่ที่สุด
  • ค่าคงที่เท่ากันในการคำนวณความแตกต่างของจำนวนกำลังสองสองจำนวน
  • ลักษณะของจำนวนกำลังสอง
• ตัวเลขกำลังสอง
• ตัวอย่างของจำนวนกำลังสองสมบูรณ์
• แบบฝึกหัดเรื่องจำนวนยกกำลังสอง

จำนวนกำลังสองสมบูรณ์คืออะไร?

จำนวนกำลังสองสมบูรณ์ คือ จำนวนที่เท่ากับกำลังสองที่แน่นอนของจำนวนเต็ม หรือพูดอย่างง่าย ๆ ก็คือ จำนวนกำลังสองสมบูรณ์คือจำนวนธรรมชาติซึ่งรากที่สองของมันคือจำนวนธรรมชาติเช่นกัน

จำนวนเต็มประกอบด้วยจำนวนเต็มบวก (1, 2, 3,…), จำนวนเต็มลบ (-1, -2, -3,…) และ 0 เซตของจำนวนเต็มแสดงด้วย Z

อย่างไรก็ตามรากที่สองของจำนวนกำลังสองจะมีเฉพาะค่าธรรมชาติเท่านั้น นั่นคือ จำนวนเต็มบวก

ตัวอย่างเช่น:

เลข 4 เป็นกำลังสองสมบูรณ์ เพราะว่ากำลังสองของเลข 2 คือ 4

9 เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์ (เพราะว่า 9 มีค่าเท่ากับกำลังสองของ 3)

วิธีการระบุจำนวนกำลังสอง

1. ดูหลักสุดท้าย : หลักสุดท้ายของจำนวนกำลังสองสมบูรณ์คือ 0, 1, 4, 5, 6, 9 ตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 2, 3, 7, 8 ไม่เรียกว่าจำนวนกำลังสองสมบูรณ์

2. พิจารณาหลักสุดท้าย: จำนวนกำลังสองสมบูรณ์สามารถมีรูปแบบได้เพียง 1 ใน 2 รูปแบบเท่านั้น คือ 4n หรือ 4n + 1 ไม่มีจำนวนกำลังสองสมบูรณ์รูปแบบ 4n + 2 หรือ 4n + 3 (โดยที่ n € N)

ตัวอย่าง: สมมติว่า n = 1 ดังนั้นจำนวนกำลังสองจะอยู่ในรูปแบบ 4 x n = 4 หรือ n = 2 ดังนั้นจำนวนกำลังสองจะอยู่ในรูปแบบ 4 x 2 + 1 = 9

มันไม่สามารถอยู่ในรูปแบบ 4 x 2 + 2 = 10 หรือ 4 x 2 + 3 = 11

3. หลักสิบของจำนวนกำลังสองสมบูรณ์คือแม้ว่าหลักสุดท้ายจะเป็น 1 หรือ 9 ก็ตาม

ตัวอย่าง: ตัวเลขกำลังสอง 81 (กำลังสองของ 9)

4. หลักสิบของเลขกำลังสองสมบูรณ์ที่ลงท้ายด้วย 5 คือ 2

ตัวอย่าง: ตัวเลขกำลังสอง 225 (กำลังสองของ 15)

5. หากจำนวนกำลังสองสมบูรณ์ลงท้ายด้วย 4 หลักสิบจะเป็นเลขคู่

ตัวอย่าง: ตัวเลขกำลังสอง 64 (กำลังสองของ 8)

6. ถ้าเลขยกกำลังสองลงท้ายด้วย 6 หลักสิบจะเป็นเลขคี่

ตัวอย่าง: ตัวเลขกำลังสอง 16 (กำลังสองของ 4)

7. เมื่อแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะแล้ว จำนวนกำลังสองสมบูรณ์จะมีเฉพาะตัวประกอบเฉพาะที่มีเลขชี้กำลังคู่เท่านั้น

ตัวอย่าง: จำนวนกำลังสอง 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 2 ^ 4

การหารลงตัวของจำนวนกำลังสอง

จำนวนกำลังสองสมบูรณ์ที่หารด้วยจำนวนเฉพาะ p ลงตัวก็จะหารด้วย p^2 ลงตัวเช่นกัน และในทางกลับกัน

• จำนวนกำลังสองสมบูรณ์ที่หารด้วย 2 ลงตัวสามารถหารด้วย 2^2 = 4 ลงตัว
• จำนวนกำลังสองสมบูรณ์ที่หารด้วย 3 ลงตัวสามารถหารด้วย 3^2 = 9 ลงตัว
• จำนวนกำลังสองสมบูรณ์ที่หารด้วย 5 ลงตัวสามารถหารด้วย 5^2 = 25 ลงตัว
• จำนวนกำลังสองสมบูรณ์ที่หารด้วย 8 ลงตัว (= 2^3) ยังสามารถหารด้วย 2^4 = 16 ลงตัว (เขียนเป็นเลขยกกำลัง) ได้เช่นกัน
• เลขยกกำลังสอง 36 ( 6^2 ) หารด้วย 2 ลงตัว => 36 หารด้วย 4 ลงตัว ( 2^2 )
• เลขยกกำลังสอง 144 (12^2) หารด้วย 3 ลงตัว (144:3=48) => 144 หารด้วย 9 ลงตัว (144:9=16)

จำนวนกำลังสองที่เล็กที่สุด

จำนวนกำลังสองสมบูรณ์ที่เล็กที่สุดในเซตของจำนวนกำลังสองสมบูรณ์คือ 0 ในช่วงจำนวนตั้งแต่ 0 ถึง 100 มีจำนวนกำลังสองสมบูรณ์ 10 จำนวนที่น้อยกว่า 100 ซึ่งประกอบด้วยจำนวน 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81

จำนวนกำลังสองที่ใหญ่ที่สุด

• ตัวเลขกำลังสองหลักที่ใหญ่ที่สุดคือ 9
• ตัวเลขกำลังสองสองหลักที่ใหญ่ที่สุด คือ 81
• ตัวเลขกำลังสองสามหลักที่ใหญ่ที่สุดคือ 312
• ตัวเลขกำลังสอง 4 หลักที่ใหญ่ที่สุดคือ 9801
• ตัวเลขกำลังสอง 5 หลักที่ใหญ่ที่สุดคือ 99856

ค่าคงที่เท่ากันในการคำนวณความแตกต่างของจำนวนกำลังสองสองจำนวน

ตัวอย่างเช่น:

ลักษณะของจำนวนกำลังสอง

• สูตรคำนวณผลต่างของจำนวนยกกำลังสองสองจำนวน : a^2 - b^2 = (ab)(a+b)
• หากจำนวนยกกำลังสองหารด้วยจำนวนเฉพาะได้ลงตัว จำนวนดังกล่าวก็จะหารด้วยกำลังสองของจำนวนเฉพาะนั้นได้ลงตัวเช่นกัน

ตัวอย่าง: ตัวเลขกำลังสอง 18 หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น ตัวเลขดังกล่าวจะหารด้วยกำลังสองของ 3 ซึ่งก็คือ 9 ลงตัวเช่นกัน

ตัวเลขกำลังสอง

จำนวนกำลังสองมีอยู่ 2 ประเภท:

ตัวอย่างของจำนวนกำลังสองสมบูรณ์

ตัวเลข 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,100, … ล้วนเป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์

4 = 2² เป็นจำนวนกำลังสองคู่

9 = 3² เป็นจำนวนกำลังสองคี่

16 = 4² เป็นจำนวนกำลังสองคู่

25 = 5² เป็นจำนวนกำลังสองคี่

36 = 6² เป็นจำนวนกำลังสองคู่

49 = 7² เป็นจำนวนกำลังสองคี่

64 = 8² เป็นจำนวนกำลังสองคู่

81 = 9² เป็นจำนวนกำลังสองคี่

100 = 10² เป็นจำนวนกำลังสองคู่

หมายเหตุ: ตัวเลข 0 และ 1 ก็เป็นตัวเลขกำลังสองเช่นกัน

แบบฝึกหัดเรื่องจำนวนยกกำลังสอง

บทที่ 1 : ในชุดตัวเลขต่อไปนี้ ซึ่งเป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์: 9, 81, 790, 408, 121, 380, 2502, 441, 560

วิธีแก้: จำนวนกำลังสองสมบูรณ์คือ 9 (3²), 81 (9²), 121 (11²), 441 (21²)

บทที่ 2: พิสูจน์ว่าเลข 1234567890 ไม่ใช่จำนวนกำลังสองสมบูรณ์

วิธีแก้: ตัวเลข 1234567890 หารด้วย 5 ลงตัว (เพราะหลักสุดท้ายคือ 0) แต่หารด้วย 25 ลงตัว (เพราะหลักสองหลักสุดท้ายคือ 90) ดังนั้นเลข 1234567890 จึงไม่ใช่จำนวนกำลังสองสมบูรณ์

บทที่ 3 : พิสูจน์ว่าจำนวน B = 4n^4 + 4n³ + n² เป็นกำลังสองสมบูรณ์สำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน

สารละลาย:

B = 4n^4 + 4n³ + n²= n²(4n² + 4n + 1)= n²(2n + 1)²

เราเห็นว่า B สามารถแสดงเป็นผลคูณของกำลังสองสองค่าได้ หรือ B = [n(2n+1)]² และ n(2n + 1) เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นข้อสรุปก็คือ B เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์

บทที่ 4: 

หาจำนวนธรรมชาติ n ที่จำนวนต่อไปนี้เป็นกำลังสองสมบูรณ์: B = n² + 4n + 1

สารละลาย:

เนื่องจากจำนวน B เป็นกำลังสองสมบูรณ์ เราจึงกำหนด n² + 4n + 1 = b²

= 4n²+16n+4=4b²

= (4n²+16n+16)-16+4=4b²

= (2n+4)²- 4b² = 12

= (2n+4+2b)x(2n+4-2b)=12

สังเกตว่า 2n+4+2b 2n+4-2b และทั้งหมดนี้เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้นเราจะสามารถหาคู่ตัวเลขที่สอดคล้องกันได้: (12, 1), (6, 2) และ (4, 3) คุณต้องพิจารณาแต่ละกรณีเพื่อหา n และ b โดยเฉพาะ:

• กรณีที่ 1: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 12 x 1 = n = 5/4, b = 11/4
• กรณีที่ 2 : (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 6 x 2 = n = 0, b = 1
• กรณีที่ 3: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 4 x 3 = n = -1/4, b = 1/4

แต่ n เป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้นคำตอบ n = 0, b = 1 เท่านั้นจึงเป็นคำตอบที่น่าพอใจ และ n = 0 ดังนั้นจำนวนกำลังสอง B = 1

หวังว่าบทความข้างต้นจะให้ข้อมูลที่เป็นประโยชน์เพื่อช่วยให้คุณรู้ว่าจำนวนกำลังสองสมบูรณ์คืออะไร 0 เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์หรือไม่ รวมถึงคุณสมบัติและลักษณะเฉพาะของจำนวนกำลังสองสมบูรณ์ จากนั้นคุณจะมีความรู้มากขึ้นในการแก้ปัญหาและปัญหาเกี่ยวกับจำนวนกำลังสอง

นอกจากจำนวนกำลังสองแล้ว คุณยังสามารถเรียนรู้ตัวเลขประเภทอื่นๆ ในทางคณิตศาสตร์ได้ เช่นจำนวนคละเศษส่วน ...