จำนวนจริงคืออะไร?

จำนวนจริงคืออะไร? ตัวเลขใดอยู่ในเซตของจำนวนจริง? โปรดอ่านบทความด้านล่างนี้เพื่อทำความเข้าใจความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญนี้ได้ดียิ่งขึ้น

จำนวนจริง

• 1.จำนวนจริงคืออะไร?
• 2. แกนจำนวนจริง
•  3. เปรียบเทียบจำนวนจริง
• 3. สมบัติของเซตของจำนวนจริง
• 4. ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง
• 5. ตัวอย่างแบบฝึกหัดเรื่องจำนวนจริง

1.จำนวนจริงคืออะไร?

• จำนวนจริงคือ เซตของจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ
• เซต คือ สัญลักษณ์ของเซตของจำนวนจริง ซึ่งประกอบด้วยจำนวนจริง

• จำนวนตรรกยะคือจำนวนที่เขียนเป็นเศษส่วน (a, b ∈ Z, b ≠ 0) ตัวอย่างเช่น 
• เซตของจำนวนตรรกยะแสดงด้วย 
• จำนวนอตรรกยะ คือ ทศนิยมที่ไม่ซ้ำกันและไม่สิ้นสุดตัวอย่างเช่น:
• เซตของจำนวนอตรรกยะแสดงด้วย 

เซตของจำนวนจริงครอบเส้นจำนวน

ตัวอย่างเช่น:

2. แกนจำนวนจริง

จำนวนจริงแต่ละตัวจะแสดงด้วยจุดบนเส้นจำนวน

• ในทางกลับกัน จุดทุกจุดบนเส้นจำนวนจะแสดงถึงจำนวนจริง
• มีเพียงเซตของจำนวนจริงเท่านั้นที่เติมเส้นจำนวน

 3. เปรียบเทียบจำนวนจริง

วิธี

• สำหรับจำนวนจริงสองจำนวน x, y เราจะได้ x = y หรือ x < y หรือ x > y เสมอ
• จำนวนจริงที่มากกว่า 0 เรียกว่าจำนวนจริงบวก ส่วนจำนวนจริงที่น้อยกว่า 1 เรียกว่าจำนวนจริงลบ เลข 0 ไม่ใช่จำนวนจริงบวกหรือลบ
• การเปรียบเทียบจำนวนจริงบวกก็คล้ายกับการเปรียบเทียบจำนวนตรรกยะ
• โดยที่ a, b เป็นจำนวนจริงบวกสองจำนวน หาก a > b แล้ว

ตัวอย่าง :กรอกตัวเลขที่ถูกต้องลงในช่องสี่เหลี่ยม:

คำแนะนำการแก้ปัญหา

ก) -7.5(0)8 > -7.513

ข) -3.02 <>

ค) -0.4(9)854 <>

ง) -1,(9)0765 <>

ตัวอย่าง:เรียงลำดับจำนวนจริงจากน้อยไปมาก

คำแนะนำการแก้ปัญหา

เรียงลำดับจำนวนจริงจากน้อยไปมาก:

ตัวอย่าง:พิสูจน์ว่า:

โดยที่ a, b เป็นจำนวนจริงบวกสองจำนวน ถ้า a > b แล้ว

คำแนะนำการแก้ปัญหา

ถ้า a > b แล้ว

a, b เป็นจำนวนจริงบวกสองจำนวน ดังนั้น a + b > 0

ถ้า a > b แล้ว a – b > 0

พิจารณาผลิตภัณฑ์

เนื่องจาก a2 – b2 > 0

=> a2 > b2 => dpcm

3. สมบัติของเซตของจำนวนจริง

ในเซตนั้น เราจะกำหนดการดำเนินการบวก ลบ คูณ หาร ยกกำลัง รากที่สอง... และในการดำเนินการ จำนวนจริงยังมีสมบัติเหมือนกันกับการดำเนินการในเซตของจำนวนตรรกยะอีกด้วย

ในเซตของจำนวนจริง การดำเนินการจะมีสมบัติต่อไปนี้เมื่อเทียบกับการคูณ:

• สำหรับคุณสมบัติทั้งหมด:
• เพิ่ม 0: 
• สมบัติการสับเปลี่ยน: ;
• คุณสมบัติรวมกัน: 
• สมบัติการสับเปลี่ยน : ก. ข = ข. เอ
• คุณสมบัติการเชื่อมโยง: (ก. ข.) ค = ก. (ข. ข.)
• สมบัติของการคูณด้วยตัวเลข 1:
• สมบัติการแจกแจงของการคูณเหนือการบวก: ก. (ข + ค) = ก. ข + ก. ซี
• สำหรับทุกจำนวนจริง a ≠ 0 จะมีค่าผกผันดังนี้

- นั่นคือการคำนวณข้างต้นยังมีคุณสมบัติการสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยงเช่นเดียวกับชุดตัวเลขอื่นๆ และการลบ การคูณ การหาร ก็เช่นเดียวกัน

ความสัมพันธ์ระหว่างชุดตัวเลข

ตัวอย่าง:ดำเนินการคำนวณ:

คำแนะนำการแก้ปัญหา

ตัวอย่าง:หา x โดยทราบว่า:

คำแนะนำการแก้ปัญหา

4. ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง

คำจำกัดความ:ระยะทางจากจุด a ถึงจุด 0 บนเส้นจำนวนคือค่าสัมบูรณ์ของจำนวน a (a เป็นจำนวนจริง) ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนลบก็คือตัวมันเอง ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนลบก็คือค่าตรงข้ามของจำนวนลบ

ภาพรวม:

• ถ้า
• ถ้า
• ถ้า
• ถ้า

ธรรมชาติ

• ค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขทุกตัวไม่เป็นลบ
• ทั่วไป: สำหรับทุก a ∈ R

โดยเฉพาะ:

คุณสมบัติบางประการ

- ตัวเลขสองตัวที่เท่ากันหรือตรงกันข้ามจะมีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน ในทางกลับกัน ตัวเลขสองตัวที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากันก็จะเท่ากันหรือตรงกันข้ามกัน

ภาพรวม:

- ทุกตัวเลขจะมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับค่าตรงข้ามของค่าสัมบูรณ์ของมัน และในขณะเดียวกันก็จะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของมันด้วย

ภาพรวม: และ

- สำหรับจำนวนลบสองตัว ตัวเลขที่เล็กกว่าจะมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่า

ภาพรวม: ถ้า

- จากจำนวนบวกสองจำนวน จำนวนที่น้อยกว่าจะมีค่าสัมบูรณ์ที่น้อยกว่า

ภาพรวม: ถ้า

- ค่าสัมบูรณ์ของผลิตภัณฑ์จะเท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์

ภาพรวม:

- ค่าสัมบูรณ์ของผลหารจะมีค่าเท่ากับผลหารของค่าสัมบูรณ์สองค่า

ภาพรวม:

5. ตัวอย่างแบบฝึกหัดเรื่องจำนวนจริง

ตัวอย่างที่ 1: เติมช่องว่างด้วยสัญลักษณ์ที่เหมาะสม ∈, ∉, ⊂ (…):

3 …. ถาม; 3 …. ร ; 3… ฉัน ; -2.53… ถาม;

0.2(35) …. ฉัน ; น …. จ ; ฉัน …. อาร์.

สั่งสอน

ก) 3 ∈ Q ; 3 ∈ ร ; 3 ∉ ฉัน ; -2.53 ∈ คิว

ข) 0.2(35) ∉ ฉัน ; N ∈ Z ; ฉัน ⊂ อาร์

ตัวอย่างที่ 2: หาเซต

ก) Q ∩ I ;
ข) R ∩ I.

สั่งสอน

ก) Q ∩ I = Ø ;
ข) R ∩ I = I

ตัวอย่างที่ 3: กรอกตัวเลขที่ถูกต้องใน (…) 

ก) – 3.02 < –="" 3,="" …="">

ข) – 7.5 … 8 > – 7.513

ค) – 0.4 … 854 < –="">

ง) -1, … 0765 < –="">

สั่งสอน

ก) – 3.02 < –="">
ข) – 7,508 > – 7,513 ;
ค) – 0.49854 < –="" 0.49826="">
ง) -1.90765 < –="">

ตัวอย่างที่ 4: หา x โดยทราบว่า:

3.2.x + (-1.2).x +2.7 = -4.9;

สั่งสอน

3.2. x + (-1,2).x + 2,7 = -4,9

[3,2 + (-1,2)].x + 2,7 = -4,9.

2.x + 2.7 = – 4.9.

2.x = – 4.9 – 2.7

2.x = – 7.6

x = -7.6 : 2

x = -3.8

นอกจากจำนวนจริงแล้ว คุณยังสามารถเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับคำจำกัดความอื่น ๆ ในทางคณิตศาสตร์ได้ เช่น จำนวน กำลังสองจำนวนอตรรกยะ จำนวนตรรกยะจำนวนเฉพาะจำนวนธรรมชาติ ...