สูตรคำนวณปริมาตรพีระมิดตัดทอน พื้นที่ข้าง และพื้นที่รวมของพีระมิดตัดทอน

มาเรียนรู้กันว่าพีระมิดตัดปลายคืออะไร วิธีการคำนวณปริมาตรของพีระมิดตัดปลาย พื้นที่ด้านข้าง และพื้นที่รวมของพีระมิดตัดปลายกันในบทความด้านล่างนี้

สารบัญ

• คำจำกัดความของ frustum
  • สมบัติของพีระมิดตัดปลาย:
• สูตรคำนวณพื้นที่พีระมิดตัดทอน
  • พื้นที่ผิวของพีระมิดตัดทอน 
  • พื้นที่ผิวทั้งหมดของพีระมิดตัดทอน
• สูตรคำนวณปริมาตรของพีระมิดตัดทอน

คำจำกัดความของ frustum

พีระมิดตัดปลาย คือ ส่วนหนึ่งของทรงหลายเหลี่ยมที่อยู่ระหว่างฐานและหน้าตัดที่ตัดด้วยระนาบที่ขนานกับฐานของพีระมิด

• รูปที่มีรูปหลายเหลี่ยม A1A2...An,B1B2...BnA1A2...An,B1B2...Bn และรูปสี่เหลี่ยมคางหมู A1A2B2B1,A2A3B3B2,...,AnA1B1BnA1A2B2B1,A2A3B3B2,...,AnA1B1Bn เรียกว่าพีระมิดตัดทอน โดยแสดงเป็น A1A2...An.B1B2...Bn.A1A2...An.B1B2...Bn
• พูดอย่างง่ายๆ ก็คือ พีระมิดที่ถูกตัดทอนจะเกิดขึ้นจากพีระมิด S.A1A2...AnS.A1A2...An หลังจากตัดพีระมิด S.B1B2...Bn.S.B1B2...Bn ออก

+ รูปหลายเหลี่ยม A1A2...An,B1B2...BnA1A2...An,B1B2...Bn เรียกว่าฐานสองอัน

+ สี่เหลี่ยมคางหมู A1A2B2B1,A2A3B3B2,...,AnA1B1BnA1A2B2B1,A2A3B3B2,...,AnA1B1Bn เรียกว่าหน้าด้านข้าง

+ ส่วนของเส้นตรง A1B1,A2B2,...,AnBnA1B1,A2B2,...,AnBn เรียกว่าขอบด้านข้าง ส่วนขอบของพื้นผิวฐานเรียกว่าขอบฐาน

+ ระยะห่างระหว่างฐานทั้งสองเรียกว่าความสูงของพีระมิดตัดทอน

สมบัติของพีระมิดตัดปลาย:

• ฐานทั้งสองเป็นรูปหลายเหลี่ยมสองรูป (รูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม รูปห้าเหลี่ยม ฯลฯ) ที่มีด้านขนานที่สอดคล้องกันและมีอัตราส่วนของด้านที่สอดคล้องกันเท่ากัน
• หน้าด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูทั้งหมด
• เส้นที่มีขอบด้านข้างจะมาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง (ยอดพีระมิด)
• พีระมิดตัดปลาย คือ พีระมิดที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ (มีด้านเท่ากัน) ดังนั้นด้านด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูจึงมีลักษณะเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากันทั้งหมด

สูตรคำนวณพื้นที่พีระมิดตัดทอน

พื้นที่ผิวของพีระมิดตัดทอน

พื้นที่ข้างของพีระมิดตัดทอน คือ พื้นที่ของหน้าต่างๆ โดยรอบ ส่วนที่อยู่ล้อมรอบพีระมิดตัดทอน โดยไม่รวมพื้นที่ฐานทั้งสอง

วิธีการคำนวณพื้นที่ด้านข้างของพีระมิดตัดทอน: คำนวณพื้นที่ด้านข้างแต่ละด้าน (สี่เหลี่ยมคางหมู) ของพีระมิดตัดทอนตามสูตรคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูธรรมดาจากนั้นคำนวณพื้นที่ทั้งหมด

สูตรคำนวณพื้นที่พีระมิดตัดปลายปกติ คือ

ในนั้น:

• Sxq: บริเวณโดยรอบ
• น. จำนวนหน้าด้านข้างของพีระมิดตัดปลาย (เท่ากับจำนวนขอบของรูปหลายเหลี่ยมฐาน)
• ก, ข: ความยาวด้านของฐานบนและฐานล่างตามลำดับ
• h: ความสูงของด้านรูปสี่เหลี่ยม

ตัวอย่างที่ 1: 

คำนวณพื้นที่ด้านข้างของพีระมิดตัดปลายสี่เหลี่ยมปกติ มีขอบฐานกว้าง 10 ซม. และ 15 ซม. และมีความสูงด้านข้าง 12 ซม.

รางวัล: 

หน้าด้านข้างของพีระมิดตัดปลายสี่เหลี่ยมด้านเท่าคือสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ดังนั้น พื้นที่ของหน้าด้านหนึ่งคือ

พีระมิดตัดปลายสี่เหลี่ยมด้านเท่ามี 4 ด้านเท่ากัน ดังนั้น พื้นที่ด้านข้างของพีระมิดคือ:

150 x 4 = 600 (ซม2)

ตัวอย่างที่ 2:คำนวณพื้นที่ด้านข้างของพีระมิดตัดปลายสี่เหลี่ยมปกติ มีขอบฐานกว้าง 6 ซม. และลึก 8 ซม. และมีความสูงด้านข้าง 5 ซม. คำนวณพื้นที่ด้านข้างของพีระมิดตัดปลายสี่เหลี่ยมปกติ มีขอบฐาน 6 ซม. และ 8 ซม.

รางวัล: 

หน้าด้านข้างของพีระมิดตัดปลายสี่เหลี่ยมด้านเท่าคือสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ดังนั้น พื้นที่ของหน้าด้านหนึ่งจึงเท่ากับ

พีระมิดตัดปลายสี่เหลี่ยมด้านเท่ามีสี่ด้านเท่ากัน ดังนั้น พื้นที่ด้านข้างจึงเท่ากับ

35 x 4 = 140 (ซม2)

พื้นที่ผิวทั้งหมดของพีระมิดตัดทอน

พื้นที่ทั้งหมดของพีระมิดตัดปลายเท่ากับผลรวมของพื้นที่ข้างและพื้นที่ฐานทั้งสอง

สูตร :                    Stp = Sxq + ก้นใหญ่ + ก้นเล็ก

ในนั้น:

• Stp : พื้นที่ทั้งหมด
• Sxq: พื้นที่โดยรอบ
• ฐานขนาดใหญ่ : พื้นที่ฐานขนาดใหญ่
• ฐานเล็ก : พื้นที่ฐานเล็ก

ตัวอย่างเช่น: 

คำนวณพื้นที่รวมของพีระมิดตัดปลายปกติตามขนาดที่กำหนดไว้ในรูป

รางวัล:

เรามี:

ค.ศ. = 12 ⇒ น้ำส้ม = 6

วาด II1 ⊥ OJ เราได้: I1J = 3

การนำทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉาก II1J เราจะได้:

IJ2 = II12 + I1J2 = 92 + 32 = 90

เพราะฉะนั้น:

พื้นที่ด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับ

พื้นที่โดยรอบเท่ากับ:

พื้นที่ฐานบน คือ : S = 6 x 6 = 36 (หน่วย)

พื้นที่ฐานล่างเท่ากับ : S = 12 x 12 = 144 (หน่วย)

พื้นที่ทั้งหมดของพีระมิดที่ถูกตัดทอนเท่ากับ:

สูตรคำนวณปริมาตรของพีระมิดตัดทอน

สูตรอาหาร:

ในนั้น:

• V: ปริมาตรของพีระมิดที่ถูกตัดทอน
• S, S' คือพื้นที่ฐานขนาดใหญ่และขนาดเล็กของพีระมิดตามลำดับ
• h: ความสูงของพีระมิด คือ ระยะห่างระหว่างฐานขนาดใหญ่และขนาดเล็ก

พีระมิดตัดทอนเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน) หรือไม่:

ในนั้น:

• วี:ปริมาตร
• h: ความสูงของปิรามิด
• a, b คือความยาวของขอบฐานใหญ่และฐานเล็กตามลำดับ