สูตรคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสี่ด้าน รูปสี่เหลี่ยมที่มีเส้นทแยงมุมสองเส้นตั้งฉากกันที่จุดกึ่งกลางของแต่ละเส้นคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งมีด้านติดกันสองด้านเท่ากัน นอกจากรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมผืนผ้า รูปสามเหลี่ยมแล้ว รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนยังเป็นรูปทรงที่สำคัญอย่างหนึ่งในทางคณิตศาสตร์และในชีวิต

นอกจากสูตรคำนวณเส้นรอบวงและพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน แล้ว วิธีการคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (เส้นที่เชื่อมจุดยอดตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเข้าด้วยกัน) ก็มีความสำคัญเช่นกัน

บทความด้านล่างนี้จะช่วยให้คุณเรียนรู้วิธีการคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนพร้อมตัวอย่างเฉพาะ กรุณาอ้างอิงถึงบทความดังกล่าว

สารบัญ

• เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
• สมบัติของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
• สูตรคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
• ปัญหาในการคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

• เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือเส้นที่เชื่อมจุดยอดตรงข้ามสองจุดของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
• รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีเส้นทแยงมุมสองเส้น และตัดกันที่จุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
• เส้นทแยงมุมแบ่งสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนออกเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าสองรูปที่มีด้านเท่ากัน

สมบัติของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

เส้นทแยงมุมสองเส้นในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีคุณสมบัติดังนี้:

• เส้นทแยงมุมสองเส้นเท่ากัน: เส้นทแยงมุมสองเส้นของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีความยาวเท่ากัน
• มุมระหว่างเส้นทแยงสองเส้นเป็นมุมฉาก: เส้นทแยงสองเส้นของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะตัดกันที่จุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและสร้างเป็นมุมฉาก
• เส้นทแยงมุมคือแกนสมมาตรของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เส้นทแยงมุมแต่ละเส้นของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือแกนสมมาตรของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน โดยแบ่งรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนออกเป็นสองส่วนที่สมมาตรกัน
• เส้นทแยงมุมคือเส้นทแยงมุมของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสองรูป เส้นทแยงมุมแต่ละเส้นของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือเส้นทแยงมุมของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสองรูปที่สร้างขึ้นจากด้านที่เท่ากัน
• ผลคูณของความยาวของเส้นทแยงมุมทั้งสองเส้นมีค่าเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านทั้งสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน: ผลคูณของความยาวของเส้นทแยงมุมทั้งสองเส้นมีค่าเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านทั้งสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน นั่นคือ ถ้าเราแทนเส้นทแยงมุมด้วย d และแทนด้านด้วย a และ b เราจะได้ d² = a² + b²

คุณสมบัติเหล่านี้เป็นคุณสมบัติเฉพาะตัวของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและถูกนำมาใช้ในโจทย์ทางเรขาคณิตต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

สูตรคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

โปรดพิจารณาตัวอย่างด้านล่างเพื่อหาสูตรในการคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

สมมติว่าเราจำเป็นต้องคำนวณความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ABCD ที่มีด้าน a และมุม ABC = 60 องศา -> สูตรในการคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนในกรณีนี้คืออะไร

สารละลาย:

เนื่องจาก ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ด้านทุกด้านจึงเท่ากับ a

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC โดยที่: AB = BC = a

อีกครั้ง: ABC = 60 องศา => สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้าน a

=> AB = AC = BC = ก

=> ความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือ AC = BD = a

วิธีแก้ปัญหาข้างต้นเป็นหนึ่งในสูตรที่ง่ายที่สุดและเข้าใจง่ายที่สุดในการคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

สูตรคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเมื่อทราบพื้นที่และเส้นทแยงมุมที่เหลือ

จากสูตรคำนวณพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน จะได้ดังนี้

S = (axb) : 2

เรามีสูตรสำหรับความยาวแนวทแยงดังนี้:

เอ = เอส x 2 : บี

หรือ

ข = Sx 2 : ก

ในนั้น:

• S คือพื้นที่
• a และ b คือความยาวของเส้นทแยงมุมทั้งสอง

ใช้คุณสมบัติทางเรขาคณิตของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนในการคำนวณความยาวของเส้นทแยงมุมโดยไม่ต้องใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส โดยเฉพาะ:

เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือค่าเฉลี่ยของความสูงสองส่วน

เส้นทแยงมุม = รากที่สองของ (ความสูงยาว + ความสูงสั้น)²

เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

เส้นทแยงมุม = 1/2 x เส้นรอบวงของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ปัญหาในการคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

โจทย์ที่ 1:กำหนดรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีพื้นที่ 360 ตารางเซนติเมตร และมีความยาวเส้นทแยงมุม 24 เซนติเมตร คำนวณความยาวของเส้นทแยงมุมที่สอง

สารละลาย:

ตามสูตรพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน คือ axb : 2

เรามีเส้นทแยงมุมที่สอง: 360 x 2 : 24 = 30ซม.

ตอบ : 30ซม.

ปัญหาที่ 2:

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีพื้นที่ 4dm ความยาวเส้นทแยงมุมหนึ่งเส้นเท่ากับ 3/5 dm คำนวณความยาวของเส้นทแยงมุมที่สอง สารละลาย:

ความยาวของเส้นทแยงมุมที่สองคือ:

(4x2) : 3/5 =40/3 (ด.ม.)

บทที่ 3:เส้นทแยงมุมสองเส้นของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีความยาว 160 ซม. และ 120 ซม. คำนวณความสูงของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน โดยทราบว่าอัตราส่วนระหว่างความสูงและความยาวของด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือ 24:25

สารละลาย:

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือ : 160.120:2 = 9 600 (cm2)

เนื่องจากอัตราส่วนระหว่างความสูงและความยาวด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือ 24:25 ดังนั้นเราจึงพิจารณาว่าความสูงของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือ 24a และด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือ 25a

แล้วเราจะได้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน: 25a.24a = 9 600 a2 = 16 a = 4 ซม.

ความสูงของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือ : 24.4 = 96 (ซม.)

ดังนั้นความสูงของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือ 96ซม.

บทที่ 4: 

กำหนดรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ABCD โดยมีความยาวด้าน 12.5 ซม. ความสูง 6.72 ซม. และ AC มีขนาดเล็กกว่า BD เส้นทแยงมุม AC และ BD ตามลำดับมีความยาวเท่าใด

รางวัล:

นำสูตรคำนวณพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมาประยุกต์ใช้ ดังนี้ S = ha = 6.72 x 12.5 = 84ซม.
=> 1/2 AC x BD = 84 => 2AC.BD = 336

ให้ O เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุมสองเส้นของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

เราได้ AOB เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่จุด O ดังนั้น AB2 = OA2 + OB2

โดยที่ OA = 1/2 AC, OB = 1/2 BD

=> 12.52 = 1/4 (AC2 + BD2) <=> 625 = AC2 + BD2

AC2 + BD2 = 625 <=> AC2 + BD2+ 2AC.BD = 625 + 336 <=> (AC + BD)2 = 961 <=> AC + BD = 31 (1)

AC2 + BD2 = 625 <=> AC2 + BD2- AC.BD = 625 -336 <=> (BD - AC)2 = 289 <=> BD - AC = 17 (ตามปัญหา BD > AC) (2)

จาก (1) และ (2) เราได้:

BD = 24, AC = 7ซม.

บทที่ 5: 

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ABCD มีด้านเท่ากับ 10 หน่วย คำนวณความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

วิธีทำ: ความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ABCD คือ:

เส้นทแยงมุม = รากที่สองของ 2(10²) = รากที่สองของ 200 = 14.14 หน่วยความยาว

ดังนั้นความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ABCD คือ 14.14 หน่วยความยาว

บทที่ 6:

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ABCD มีเส้นทแยงมุม 12 หน่วย คำนวณเส้นรอบวงของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

วิธีทำ: เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีด้านเท่ากันสี่ด้าน ดังนั้น เส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะเท่ากับผลรวมของความยาวของด้านทั้งสี่ด้าน นั่นคือ:

เส้นรอบวง = 4 x ความยาวด้าน = 4 x 6 = 24 หน่วยความยาว

ดังนั้นเส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ABCD จึงมีความยาว 24 หน่วย