สูตรคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

วิธีการคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส วิธีการคำนวณเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าใช้กันมากในโจทย์คณิตศาสตร์และการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ เช่น การออกแบบและการสร้าง การตัดมุม การวัด ... Quantrimang.com ได้รวบรวมความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของเส้นทแยงมุมสองเส้น รวมถึงสูตรการคำนวณ โปรดดูเพื่อนำไปใช้ในการศึกษา ชีวิตและการทำงาน

สารบัญ

• เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าคืออะไร
• วิธีการคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
  • สมบัติของสี่เหลี่ยมจัตุรัสทแยงมุม
  • สูตรคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
  • ตัวอย่างการคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 
• วิธีการคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
  • สมบัติของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
  • สูตรคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
  • ตัวอย่างการคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า 
  • ตัวอย่างการพิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยมคือสี่เหลี่ยมผืนผ้า

เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผ้าคืออะไร

เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือเส้นที่เชื่อมระหว่างมุมตรงข้ามสองมุม ทุกรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะมีเส้นทแยงมุมสองเส้นที่มีความยาวเท่ากัน

วิธีการคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

สมบัติของสี่เหลี่ยมจัตุรัสทแยงมุม

• เส้นทแยงมุมสองเส้นของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีความยาวเท่ากัน ตั้งฉากกัน และตัดกันที่จุดกึ่งกลางของแต่ละเส้น
• มีวงกลมจารึกและวงกลมล้อมรอบ โดยจุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสองจะตรงกันและเป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุมสองเส้นของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
• เส้นทแยงมุม 1 เส้นจะแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมฉากสองรูป
• จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งมุม เส้นมัธยฐาน และเส้นแบ่งครึ่งแนวตั้งฉากทั้งหมดจะเกิดขึ้นตรงกันที่จุดหนึ่ง
• มีสมบัติทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน และรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

สูตรคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ตามสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เส้นทแยงมุมสองเส้นของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะเท่ากัน และเส้นทแยงมุมหนึ่งเส้นของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะแบ่งรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสองส่วนที่มีพื้นที่เท่ากัน ซึ่งก็คือรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วสองรูป ดังนั้น เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วสองรูป

ดังนั้นในการคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส คุณเพียงแค่ต้องใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับสามเหลี่ยมมุมฉาก

สมมติว่าคุณมีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD โดยมีความยาวด้าน a เส้นทแยงมุม AC จะแบ่งรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้นออกเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปคือ ABC และ ACD

การนำทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาใช้กับสามเหลี่ยมหน้าจั่วขวา ABC:

⇒ ⇒

ดังนั้นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะมีด้านยาว a:

ตัวอย่างการคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 

ตัวอย่างที่ 1: สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านยาว 3 ซม. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้นคือ: 6 ซม., √18 ซม., 5 ซม. หรือ 4 ซม.?

สารละลาย:

ก) เมื่อนำทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาประยุกต์ใช้ในรูปกำลังสอง ABC จะได้ว่า

AC² = AB² + BC² = 3² + 3² = 18

=> AC = ซม.

ดังนั้นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ √18 ซม.

ตัวอย่างที่ 2:

เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 2dm ด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้นคือ: 1ซม., 3/2ซม., √2ซม. หรือ 4/3ซม.?

รางวัล:

นำทฤษฎีบทพีทาโกรัสไปใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC แต่ในแบบฝึกหัดนี้ จะระบุความยาวของเส้นทแยงมุม นั่นคือ AC = 2 ซม. คำนวณด้าน AB

เราได้: AC² = AB² + BC² = 2AB (เพราะว่า AB = BC)

=> AB² = AC²/2 = 2²/2 = 2

=> AB = √2

วิธีการคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

สี่เหลี่ยมผืนผ้าคือรูปสี่เหลี่ยมนูนที่มีมุมฉากสี่มุม เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีเส้นทแยงมุมเท่ากันสองเส้น

สมบัติของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีสมบัติสำคัญหลายประการที่เป็นประโยชน์ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมผืนผ้าและเส้นทแยงมุม

• ความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก จึงเท่ากับรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของด้านทั้งสองด้าน
• เส้นทแยงมุมจะแบ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าออกเป็นสองรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีพื้นที่เท่ากัน ดังนั้นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือแกนสมมาตรของสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• เส้นทแยงมุมสองเส้นของสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีขนาดเท่ากันและตัดกันที่จุดกึ่งกลางของเส้นแต่ละเส้น และสร้างรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 4 รูป

สูตรคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

จากสมบัติของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าข้างต้น เราสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อคำนวณความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้

สมมติว่าคุณมีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ABCD ที่มีความยาว a และความกว้าง b โดยมีเส้นทแยงมุม AC ดังแสดงด้านล่าง

เราใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC:

⇒ ⇒

ดังนั้นเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาว a และความกว้าง b จะเป็นดังนี้:

ดังนั้น ความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะเท่ากับรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของด้านสองด้าน (ความยาวและความกว้าง) ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ดังนั้น เราสามารถคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้โดยการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ตัวอย่างการคำนวณเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า 

คำนวณความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาว 10dm และมีความกว้าง 5dm

สารละลาย:

ให้ความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็น a (a > 0, dm)

โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ:

เอ2 = 102 + 52 = 125

=> ก = 5√5 ด.ม.

ตัวอย่างการพิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยมคือสี่เหลี่ยมผืนผ้า

คุณสมบัติและสูตรในการคำนวณเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถนำไปใช้แก้ปัญหาบางประการในการพิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยมคือสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้

กำหนดให้รูปสี่เหลี่ยม ABCD มีเส้นทแยงมุมสองเส้นที่ตั้งฉากกัน ให้ E, F, G, H เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน AB, BC, CD, AD ตามลำดับ EFGH รูปสี่เหลี่ยมมีรูปร่างแบบใด? ทำไม

สารละลาย:

เนื่องจาก E เป็นจุดกึ่งกลางของ AB, H จึงเป็นจุดกึ่งกลางของ AD

=> EH คือเส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยม ABD

(1)

เนื่องจาก F เป็นจุดกึ่งกลางของ BC และ G เป็นจุดกึ่งกลางของ CD

=> FG คือเส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยม BCD

(2)

จาก (1) และ (2) =>

พิจารณา EFGH รูปสี่เหลี่ยม

เอฟจี // เอ่อ

FG = อีเอช

=> EFGH เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (เครื่องหมายการรู้จำ)

ในทางกลับกัน:

นอกจากนี้ยังมี:

E คือจุดกึ่งกลางของ AB และ F คือจุดกึ่งกลางของ BC

=> EF คือเส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยม ABC

=> อีเอฟ // เอซี

แต่ EH ⊥ AC => EH ⊥ EF

สี่เหลี่ยมด้านขนาน EFGH มีมุมฉาก

=> EFGH เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า