สูตรสำหรับการรวม การเรียงสับเปลี่ยน และการเรียงสับเปลี่ยน

สูตรคำนวณการจัดหมู่และการเรียงสับเปลี่ยนมีอะไรบ้าง?บทความนี้จะแนะนำวิธีการคำนวณค่าผสมและสูตรอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้อง

การเรียงสับเปลี่ยนและการจัดกลุ่มเป็นแนวคิดพื้นฐานที่สุดในทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการเลือกสินค้าจากกลุ่มหรือชุด

• การสับเปลี่ยนคือการจัดเรียงรายการตามลำดับการเลือกจากกลุ่มที่กำหนด
• การผสมผสานคือการเลือกสินค้าโดยไม่คำนึงถึงลำดับ

สารบัญ

• สูตรเชิงผสม
• สูตรการเรียงสับเปลี่ยน
• การเรียงสับเปลี่ยน 

สูตรเชิงผสม

กำหนดเซต A ที่มีสมาชิก n ตัว และกำหนดจำนวนเต็ม k, (1 ≤ k ≤ n) แต่ละเซตย่อยของ A ที่มี k องค์ประกอบเรียกว่าการรวม k-fold ของ n องค์ประกอบใน A

สูตรการรวม K ของ n

สูตรสำหรับสมบัติของการรวมกัน:

ตัวอย่างของการจัดหมู่

ตัวอย่างที่ 1: 

กลุ่มนักเรียนจำนวน 12 คน. มีกี่วิธี:

ก) เลือกตัวแทนกลุ่มจำนวน 2 คน

ข) เลือก 2 คน และกำหนดตำแหน่งหัวหน้าทีม และรองหัวหน้าทีม

ค) แบ่งกลุ่มออกเป็น 2 กลุ่ม โดยหัวหน้ากลุ่มและรองหัวหน้ากลุ่มอยู่คนละกลุ่ม

สารละลาย

ก) เลือกเพื่อน 2 คน จากเพื่อน 12 คน ที่เป็นการผสมผสาน 2 ใน 12 วิธี: C122 = 66 วิธี

ข) เลือกคน 2 คน และมอบหมายตำแหน่งการรวม 2 ใน 12: A122 = 132 วิธี

ค) แบ่งกลุ่มออกเป็น 2 กลุ่ม โดยแต่ละกลุ่มมีสมาชิก 6 คน

โดยหัวหน้าทีมและรองหัวหน้าทีมอยู่คนละกลุ่มกัน

เลือกเพื่อน 5 คนเข้ากลุ่มเดียวกับหัวหน้าทีมจากเพื่อนที่เหลือ 10 คน: C105 = 252 วิธี

เลือก 5 คนมาอยู่กลุ่มเดียวกับรองหัวหน้ากลุ่มจาก 5 คนอื่นที่เหลือ: C55 = 1 ทาง.

ดังนั้นมี 252.1 = 252 วิธี

สูตรการเรียงสับเปลี่ยน

กำหนดเซต A ที่มีสมาชิก n ตัว และกำหนดจำนวนเต็ม k, (1 ≤ k ≤ n) เมื่อเรานำองค์ประกอบ k ของ A มาจัดเรียงตามลำดับ เราจะได้การรบกวน n องค์ประกอบของ A จำนวน k เท่า (เรียกว่าการรบกวน n เท่าของ k ของ A)

จำนวนการเรียงสับเปลี่ยน k แบบของเซตที่มีองค์ประกอบ n คือ:

สูตรการเรียงสับเปลี่ยน:

• ข้อตกลงบางประการ: 0! = 1, An0 = 1, แอน = n!
• ลักษณะเฉพาะ: เป็นการเรียงลำดับแบบมีลำดับ และจำนวนองค์ประกอบที่ต้องเรียงลำดับคือ k: 0 ≤ k ≤ n

ตัวอย่างเช่น: 

จากตัวเลข 0 ถึง 9 มีกี่วิธีในการสร้างจำนวนธรรมชาติซึ่งมีลักษณะดังนี้

ก) ตัวเลขที่มี 6 หลักต่างกัน

ข) ตัวเลขที่มี 6 หลักต่างกันและหารด้วย 10 ลงตัว

ค) เลขคี่มี 6 หลักที่แตกต่างกัน

สารละลาย

ก) สร้างตัวเลขที่มี 6 หลักที่แตกต่างกัน

เลือกหลักแรกจากตัวเลข 1 ถึง 9: มี 9 วิธีให้เลือก

หลักที่เหลือเป็นการเรียงสับเปลี่ยนลำดับที่ 5 ของตัวเลขที่เหลือ 9 ตัว (นอกเหนือจากหลักแรก) ด้วย A95

ดังนั้นมีเลข 9A95 = 136080

ข) ตัวเลขที่มี 6 หลักต่างกันและหารด้วย 10 ลงตัว

เลือกหลักหน่วย : มี 1 วิธีในการเลือกหลัก 0

เลือกหลักที่เหลือเป็นการเรียงสับเปลี่ยนลำดับที่ 5 ของตัวเลขที่เหลือ 9 ตัว (นอกเหนือจากหลัก 0) ด้วย A95

ดังนั้นจะมีเลข A95 = 15120

ค) ให้ตัวเลขเป็นเลขคี่ที่มีตัวเลข 6 หลักต่างกันซึ่งประกอบด้วยหลัก 0 ถึง 9

เพราะมันเป็นคี่ f ∈{1; 3; 5; 7; 9}

เลือก f: มี 5 วิธีให้เลือก

เลือก a จากตัวเลข {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}\{f}: มี 8 วิธีให้เลือก

เลือก b, c, d, e เป็นเลขเชิงซ้อน 4 ของตัวเลขที่เหลือ 8 หลัก (นอกเหนือจาก f และ a): เราได้ A84

ดังนั้นมี 5.8A84 = 67200 ตัวเลข

การเรียงสับเปลี่ยน

ก) คำจำกัดความ:

- กำหนดเซต A ที่มีองค์ประกอบ n ตัว (n ≥ 1)

ผลลัพธ์แต่ละอย่างของการจัดลำดับองค์ประกอบ n องค์ประกอบของเซต A เรียกว่าการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ n

หมายเหตุ: การเรียงสับเปลี่ยนสองแบบขององค์ประกอบ n แตกต่างกันเพียงแค่ลำดับการจัดเรียงเท่านั้น

ข) จำนวนการเรียงสับเปลี่ยน:

- สัญลักษณ์ Pn คือ จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของธาตุ n ชนิด

สูตรการเรียงสับเปลี่ยน:

Pn = n(n – 1)…2.1 = n!

ประชุม: 0! = 1; 1! = 1.

ตัวอย่าง:  จัดให้คน 10 คน ประกอบด้วยเด็กชาย 5 คนและเด็กหญิง 5 คน อยู่บนม้านั่ง มีกี่วิธีที่จะจัดให้ได้ดังนี้:

ก) จัดเรียงอะไรก็ได้

ข) เด็กชายทั้งสองนั่งติดกัน

ค) เด็กชายและเด็กหญิงนั่งสลับกัน

สารละลาย

ก) จำนวนวิธีในการจัดคน 10 คนบนม้านั่งคือเรียงสับเปลี่ยน 10: 10!

ข) จัดให้เด็กๆ นั่งข้างกัน เราใส่เด็กชาย 5 คนไว้ใน "มัด": มี 5 คน! วิธีการจัดเรียงภายใน “มัด”

จากนั้นจัดสาวๆ 5 คนรวมกันเป็น “กลุ่ม” บนม้านั่ง โดยมี: 6! วิธีการจัดวาง

มี 5 แล้วนะ! - 6! = 86400 วิธีจัดตำแหน่งให้เด็กชายนั่งติดกัน

ค) สมมติว่ามีคน 10 คนนั่งอยู่บนม้านั่งที่มีหมายเลขตั้งแต่ 1 ถึง 10

สลับกันระหว่างเด็กชายและเด็กหญิง

+ กรณีที่ 1 เด็กชายนั่งท่าคี่ เด็กหญิงนั่งท่าคู่

จำนวนวิธีจัดหนุ่มๆ : 5!

จำนวนวิธีจัดสาวๆ : 5!

มี 5 แล้วนะ! - 5! วิธีการจัดวาง

+ กรณีที่ 2 : เด็กชายนั่งท่าคู่ เด็กหญิงนั่งท่าคี่

คล้ายกับกรณีข้างต้นเรามี 5! - 5! วิธีการจัดวาง

ก็เหลือ 2. 5 แล้วนะ! - 5! = 28800 วิธีจัดเตรียม.

ความแตกต่างระหว่างการเรียงสับเปลี่ยนและการรวมกัน

ความแตกต่างระหว่างการเรียงสับเปลี่ยนและการรวมกันสามารถเข้าใจได้จากตารางต่อไปนี้:

การเรียงสับเปลี่ยน	การผสมผสาน
ในการเรียงสับเปลี่ยน ลำดับการจัดเรียงถือเป็นสิ่งสำคัญมาก ตัวอย่างเช่น AB และ BA เป็นการผสมผสานที่แตกต่างกัน	เมื่อนำมาใช้ร่วมกัน ลำดับการจัดเรียงไม่สำคัญ ตัวอย่างเช่น AB และ BA เป็นส่วนผสมที่คล้ายกัน
การสับเปลี่ยนใช้เมื่อจำเป็นต้องแยกประเภทหรือจัดประเภทสสารที่แตกต่างกัน	ใช้การรวมกันเมื่อคุณต้องการจัดเรียงสิ่งของประเภทเดียวกัน
การเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งสองสิ่งจากสิ่งสามสิ่งที่กำหนดไว้ a, b, c คือ ab, ba, bc, cb, ac, ca	การรวม คือ การนำสิ่งสองสิ่งมารวมกันจากสิ่งสามสิ่งที่กำหนดให้ a, b, c คือ ab, bc, ca

คุณสามารถเยี่ยมชม ส่วน การศึกษาและการเรียนรู้ของ Quantrimang.com เพื่อเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับสูตรทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ