ออร์โธเซ็นเตอร์คืออะไร? กำหนดจุดศูนย์กลางมุมฉากในรูปสามเหลี่ยม

จุดศูนย์กลางมุมฉากของสามเหลี่ยม คือ จุดตัดระหว่างจุดสูง ทั้งสาม ซึ่งหมายความว่า จุดตัดระหว่างเส้นตรงจากจุดยอดแต่ละจุดของสามเหลี่ยมกับด้านตรงข้ามจะสร้างมุมฉาก ความยาวของความสูงคือระยะทางระหว่างจุดสูงสุดและจุดต่ำสุด

จุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม

• ออร์โธเซ็นเตอร์คืออะไร?
• วิธีการกำหนดจุดศูนย์กลางมุมฉากของรูปสามเหลี่ยม
• สมบัติของจุดศูนย์กลางมุมฉากของรูปสามเหลี่ยม
• แบบฝึกหัดการหาและพิสูจน์จุดศูนย์กลางมุมฉากของรูปสามเหลี่ยม

ออร์โธเซ็นเตอร์คืออะไร?

จุดสูงทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง จุดนั้นเรียกว่าจุดศูนย์กลางตั้งฉากของรูปสามเหลี่ยม

โดยเฉพาะ:ในรูปคือความสูง จุดศูนย์กลางมุมฉากของสามเหลี่ยม

วิธีการกำหนดจุดศูนย์กลางมุมฉากของรูปสามเหลี่ยม

ในการกำหนดจุดศูนย์กลางมุมฉากของสามเหลี่ยม เราจะต้องหาจุดตัดระหว่างระดับความสูงทั้งสองในสามเหลี่ยมนั้น

หมายเหตุ:  ก) ถ้าสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม จุดศูนย์กลางมุมฉากจะอยู่ภายในสามเหลี่ยม

ข) ถ้าสามเหลี่ยมนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จุดศูนย์กลางจะตรงกับจุด

ค) ถ้าสามเหลี่ยมเป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน จุดตั้งฉากจะอยู่ด้านนอกของสามเหลี่ยม

สมบัติของจุดศูนย์กลางมุมฉากของรูปสามเหลี่ยม

คุณสมบัติ 1: ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า เซนทรอยด์ จุดตั้งฉาก จุดที่อยู่ห่างจากจุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน จุดภายในรูปสามเหลี่ยมและอยู่ห่างจากด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน คือ จุดที่ตรงกัน 4 จุด

คุณสมบัติ 2: จุดศูนย์กลางมุมฉากจะตัดเส้นแบ่งครึ่งแนวตั้งฉากของด้านทั้งสองด้านออกเป็นสองส่วนที่มีความยาวเท่ากัน นั่นหมายความว่าจุดศูนย์กลางมุมฉากอยู่ห่างจากจุดยอดของสามเหลี่ยมเท่ากัน

คุณสมบัติที่ 3: จุดศูนย์กลางมุมฉากคือจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งหมายความว่าถ้าเราวาดวงกลมที่ผ่านจุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม จุดศูนย์กลางมุมฉากจะเป็นศูนย์กลางของวงกลมนั้น

คุณสมบัติที่ 4:  จุดศูนย์กลางมุมฉากของสามเหลี่ยมแหลมอยู่ภายในสามเหลี่ยม ในขณะที่จุดศูนย์กลางมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมป้านอยู่ภายนอกสามเหลี่ยม

คุณสมบัติ 5:  จุดศูนย์กลางมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากจะตรงกับจุดยอดของมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น

คุณสมบัติ 6:  จุดศูนย์กลางมุมฉากคือจุดเดียวในสามเหลี่ยมที่ถ้าเราวาดเส้นจากจุดศูนย์กลางมุมฉากไปยังจุดยอดของสามเหลี่ยม ผลรวมของความยาวของเส้นเหล่านั้นจะน้อยที่สุด ซึ่งหมายความว่าจุดศูนย์กลางมุมฉากจะอยู่ใกล้กับจุดยอดของสามเหลี่ยมมากกว่าจุดอื่นๆ

คุณสมบัติที่ 7:จุดศูนย์กลางมุมฉากยังเป็นศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบของสามเหลี่ยม นั่นคือ วงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถวาดผ่านจุดยอดทั้งสามของสามเหลี่ยมได้

แบบฝึกหัดการหาและพิสูจน์จุดศูนย์กลางมุมฉากของรูปสามเหลี่ยม

ตัวอย่าง:กำหนดให้ไม่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เรียกมันว่าจุดออร์โธเซ็นเตอร์ แสดงความสูงของสามเหลี่ยม จากนั้นระบุจุดศูนย์กลางมุมฉากของสามเหลี่ยมนั้น

คำแนะนำการแก้ปัญหา

ภาพประกอบ

ให้ เป็นฟุตของเส้นตั้งฉากที่วาดมาจาก ΔABC

พิจารณา ΔHBC ด้วย:

ดังนั้น AD คือความสูงจาก H ถึง BC

ที่ F ดังนั้น BA คือความสูงจาก B ถึง HC

ที่ E ดังนั้น CA คือความสูงจาก C ถึง HB

ตัดกันที่ A ดังนั้น A คือจุดตั้งฉากของ ΔHCB

ตัวอย่าง:กำหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความสูง ให้จุดกึ่งกลางของเป็น และจุดกึ่งกลางของคือ กำหนดจุดศูนย์กลางมุมฉากของรูปสามเหลี่ยม

คำแนะนำการแก้ปัญหา

พิจารณาปัญหาย่อยถ้าสามเหลี่ยมมี AC เป็นจุดกึ่งกลางตามลำดับ แล้ว และ

แท้จริงแล้ว บนรังสีตรงข้ามของรังสีนั้น ให้วางจุดหนึ่งไว้ในลักษณะที่

พิจารณาสามเหลี่ยม AMN และสามเหลี่ยม CPN

(ตรงข้าม)

(ด้านสองด้านและมุมที่สอดคล้องกันสองมุม)

มุมสองมุมอยู่ในตำแหน่งสลับกัน

=>(มุมภายในสลับกันสองมุม)

พิจารณาสามเหลี่ยม BMC และสามเหลี่ยม PCM

(ซมท)

MC มีจุดเด่นร่วมกัน

, (ด้านและมุมที่สอดคล้องกัน)

มุมสองมุมอยู่ในตำแหน่งสลับกัน

เรามีอีกครั้ง

พิจารณาสามเหลี่ยม HAB ด้วย:

(ตามที่พิสูจน์แล้วข้างต้น)

พิจารณาสามเหลี่ยม ADE

ในทางกลับกันและ

คือความสูงของสามเหลี่ยม ADE

C คือจุดตัดระหว่าง AC และ DC

=> C คือจุดศูนย์กลางมุมฉากของสามเหลี่ยม ADE

ตัวอย่าง:กำหนดมาตราส่วนที่ A ความสูงจะตัดกับค่ามัธยฐานที่ พิสูจน์และคำนวณ?

สั่งสอน

ภาพประกอบ

เนื่องจากสมดุลอยู่ที่ A และ AM คือค่ามัธยฐาน

⇒ AM คือความสูงที่สอดคล้องกับ BC

ที่ ม.

ในทางกลับกัน K จึงเป็นตำแหน่งตั้งฉาก

ดังนั้น K จึงอยู่ในระยะสูงจาก C ของ ∆ABC

เรามี: