สูตรคำนวณปริมาตรของวัตถุทรงตันแบบหมุนและตัวอย่างประกอบ

บล็อคหมุนคืออะไร? คำนวณปริมาตรของของแข็งที่มีการหมุนอย่างไร?

รูปทรงตันที่มีการหมุนรอบแกนคงที่ เช่น กรวยที่มีการหมุนรอบแกน ทรงกระบอกที่มีการหมุนรอบแกน ทรงกลมที่มีการหมุนรอบแกน เป็นต้น ด้านล่างนี้คือสูตรคำนวณปริมาตรของรูปทรงตันที่มีการหมุนรอบแกน โปรดดูที่สูตรดังกล่าว

สารบัญ

• คำนวณปริมาตรของบล็อกวงกลมที่หมุนรอบแกน Ox
• คำนวณปริมาตรของบล็อกวงกลมที่หมุนรอบแกน Oy
• ตัวอย่างการคำนวณปริมาตรของของแข็งจากการหมุน

คำนวณปริมาตรของบล็อกวงกลมที่หมุนรอบแกน Ox

หากบล็อกวงกลมหมุนรอบแกนวัว สามารถใช้สูตรต่อไปนี้เพื่อคำนวณปริมาตรของบล็อกวงกลมที่หมุนได้:

กรณีที่ 1 : บล็อควงกลมหมุนที่สร้างโดย:

• เส้น y= f(x)
• แกน x y=0
• x=ก; x=ข

จากนั้นสูตรในการคำนวณปริมาตรก็คือ:

กรณีที่ 2 : บล็อคหมุนถูกสร้างขึ้นโดย:

• เส้น y= f(x)
• เส้น y= g(x)
• x=ก; x=ข

จากนั้นสูตรสำหรับคำนวณปริมาตรของของแข็งจากการหมุนจะเป็นดังนี้:

กับ

คำนวณปริมาตรของบล็อกวงกลมที่หมุนรอบแกน Oy

หากบล็อกวงกลมหมุนรอบแกน Oy สามารถใช้สูตรต่อไปนี้เพื่อคำนวณปริมาตรของบล็อกวงกลมที่หมุนได้:

กรณีที่ 1 : บล็อคหมุนถูกสร้างขึ้นโดย:

• เส้น x=g(y)
• แกนตั้ง (x=0)
• y=ค; y=ง

จากนั้นสูตรสำหรับคำนวณปริมาตรของของแข็งจากการหมุนจะเป็นดังนี้:

กรณีที่ 2 : บล็อคหมุนถูกสร้างขึ้นโดย

• เส้น x=f(y)
• สมการ x=g(y)
• y=ค; y=ง

แล้วปริมาตรของของแข็งจากการหมุนจะเป็นดังนี้:

กับ

ตารางสรุปสูตรการคำนวณปริมาตรของของแข็งรูปหมุน:

1. Vx ที่เกิดจากพื้นที่ S ที่หมุนรอบ Ox:

สูตรอาหาร :

2. Vx ที่เกิดจากพื้นที่ S ที่หมุนรอบ Ox:

สูตรอาหาร :

ตัวอย่างการคำนวณปริมาตรของของแข็งจากการหมุน

ตัวอย่างที่ 1: 

คำนวณปริมาตรของของแข็งจากการหมุนที่ได้จากการหมุนรูประนาบที่จำกัดด้วยเส้นโค้ง y = sinx แกน x และเส้นตรงสองเส้น x=0, x=π (การวาด) รอบแกน Ox

สารละลาย

การนำสูตรในทฤษฎีบทข้างต้นมาใช้เราจะได้

ตัวอย่างที่ 2: 

คำนวณปริมาตรของของแข็งจากการหมุนซึ่งได้จากการหมุนรูประนาบที่ถูกจำกัดด้วยเส้นโค้งและแกน x รอบแกน x

รางวัล:

เราเห็น:

สำหรับ x ทั้งหมด นี่จึงเป็นสมการของครึ่งวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางคือ O และรัศมี R = A อยู่เหนือแกน Ox เมื่อหมุนรอบแกน Ox รูปร่างแบนจะสร้างเป็นทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ O และมีรัศมี R = A (รูป) เราก็เลยมีเสมอ

 

ดังนั้นด้วยปัญหาประเภทนี้ เราไม่จำเป็นต้องเขียนสูตรการอินทิเกรต แต่สามารถสรุปโดยอาศัยสูตรคำนวณปริมาตรของทรงกลมได้

ตัวอย่างที่ 3: 

คำนวณปริมาตรของวัตถุที่อยู่ระหว่างระนาบสองระนาบ x = 0 และ x = 1 โดยทราบว่าหน้าตัดของวัตถุที่ตัดโดยระนาบ (P) ซึ่งตั้งฉากกับแกน Ox ณ จุดที่มีแกน x (0≤x≤1) เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาวด้านสองด้านคือ x และ ln(x2+1)

รางวัล: 

เนื่องจากมีหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า พื้นที่หน้าตัดจึงเป็นดังนี้:

เรามีปริมาตรที่จะคำนวณเป็น

ตัวอย่างที่ 4:กำหนดรูปร่างระนาบที่มีขอบเขตด้วยเส้นตรง y = 3x y = x; x = 0; x = 1 หมุนรอบแกน Ox คำนวณปริมาตรของของแข็งผลลัพธ์จากการปฏิวัติ

รางวัล:

พิกัดของจุดตัดของเส้น x = 1 โดยที่ y = x และ y = 3x คือจุด C(1;1) และ B(3;1) พิกัดของจุดตัดของเส้น y = 3x กับ y = x คือ O(0;0)

ดังนั้นปริมาตรของของแข็งที่หมุนที่ต้องคำนวณคือ:

ตัวอย่างที่ 5 : กำหนดรูปร่างระนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง y = 2x2 y2 = 4x หมุนรอบแกน Ox คำนวณปริมาตรของของแข็งผลลัพธ์จากการปฏิวัติ

รางวัล:

มีกาลเทียบเท่ากัน พิกัดของจุดตัดของเส้นตรงคือจุด O(0;0) และ A(1;2)

ดังนั้นปริมาตรของของแข็งที่หมุนที่ต้องคำนวณคือ:

สำหรับโจทย์ที่ต้องคำนวณปริมาตรของของแข็งรอบการหมุน คุณเพียงแค่ต้องใช้สูตรที่ถูกต้องสำหรับแต่ละกรณี และใส่ใจในการกำหนดขีดจำกัดเพื่อให้สามารถแก้ปัญหาได้ ขอให้โชคดี!