จำนวนตรรกยะคืออะไร? จำนวนอตรรกยะคืออะไร?

คำจำกัดความและสูตรของจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะถือเป็นความรู้สำคัญทางคณิตศาสตร์ที่นักเรียนต้องเข้าใจเพื่อให้มีรากฐานทางคณิตศาสตร์ที่มั่นคง บทความต่อไปนี้จะแนะนำคุณเกี่ยวกับคำจำกัดความ คุณสมบัติ และรูปแบบทางคณิตศาสตร์ของจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ กรุณาดูตามนี้ครับ.

จำนวนตรรกยะ, จำนวนอตรรกยะ

• จำนวนตรรกยะคืออะไร?
  • การจำแนกประเภทจำนวนตรรกยะ
  • การแสดงจำนวนตรรกยะบนเส้นจำนวน
  • การบวกและลบจำนวนตรรกยะ
  • การคูณและการหารจำนวนตรรกยะ
  • ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนตรรกยะ
  • เปรียบเทียบจำนวนตรรกยะสองตัว
  • สูตรคำนวณหาค่ากำลังของจำนวนตรรกยะ
• จำนวนอตรรกยะคืออะไร?
  • แนวคิดเรื่องจำนวนอตรรกยะ
  • สมบัติของจำนวนอตรรกยะ
• ความแตกต่างระหว่างจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะคืออะไร?
• ความสัมพันธ์ของชุดตัวเลข
• แบบฝึกหัดเรื่องจำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะคืออะไร?

- จำนวนตรรกยะคือชุดของตัวเลขที่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ (ผลหาร) นั่นคือ จำนวนตรรกยะสามารถแสดงเป็นทศนิยมซ้ำอนันต์ได้

- จำนวนตรรกยะเขียนเป็น โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็ม แต่ b ต้องต่างจาก 0

- เป็นเซตของจำนวนตรรกยะ

=> ชุดของจำนวนตรรกยะ: .

ตัวอย่าง: , , … เป็นจำนวนตรรกยะ

• จำนวนเต็ม a ใดๆ เป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจากจำนวนเต็ม a สามารถเขียนในรูปแบบ

ตัวอย่าง:เรามีจำนวนตรรกยะ

เรามี:

หมายเหตุ: เป็นจำนวนตรรกยะทั้งหมด

การจำแนกประเภทจำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะแบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ จำนวนตรรกยะลบและจำนวนตรรกยะบวก โดยเฉพาะ:

• จำนวนตรรกยะลบ: รวมจำนวนตรรกยะที่น้อยกว่า 0
• จำนวนตรรกยะบวก: รวมจำนวนตรรกยะที่มากกว่า 0

หมายเหตุ:เลข 0 ไม่ใช่จำนวนตรรกยะลบหรือจำนวนตรรกยะบวก

ธรรมชาติ

• เซตของจำนวนตรรกยะคือเซตที่นับได้
• สมบัติการสับเปลี่ยน:
• คุณสมบัติการบวกด้วย 0:
• คุณสมบัติรวมกัน:

การแสดงจำนวนตรรกยะบนเส้นจำนวน

- เพื่อแสดงจำนวนตรรกยะบนเส้นจำนวน เราจะใช้ปัจจัยดังต่อไปนี้:

ขั้นตอนที่ 1:เขียนจำนวนตรรกยะเป็นเศษส่วน

ขั้นตอนที่ 2:แบ่งส่วนของเส้นหน่วยออกเป็น b ส่วนเท่าๆ กันเพื่อให้ได้ส่วนของหน่วยใหม่ซึ่งก็คือหน่วยเดิม

ขั้นตอนที่ 3:จำนวนตรรกยะแสดงโดยจุด A ซึ่งเป็นระยะทางหนึ่งหน่วยใหม่จากจุด 0

• A อยู่ทางซ้ายของ 0 ถ้าเป็นจำนวนลบ
• A อยู่ทางขวาของ 0 ถ้าเป็นจำนวนบวก

ตัวอย่าง:ในรูป จุด P แสดงถึงจำนวนตรรกยะ:

สั่งสอน

เส้นแบ่งส่วนหน่วยออกเป็น 6 ส่วนเท่าๆ กัน (หน่วยใหม่เท่ากับ 1/6 ของหน่วยเดิม)

จุด P ตั้งอยู่ห่างจากจุด O ไป 7 หน่วยใหม่

และจุด P อยู่ทางขวาของจุด O ดังนั้น P จึงเป็นจำนวนตรรกยะบวก

ดังนั้น P แสดงถึงจำนวนตรรกยะ

การบวกและลบจำนวนตรรกยะ

ก) กฎการบวกและลบจำนวนตรรกยะสองจำนวน

เราสามารถบวกและลบจำนวนตรรกยะ x และ y สองจำนวนได้โดยเขียนเป็นเศษส่วนสองส่วน จากนั้นใช้กฎสำหรับการบวกและลบเศษส่วน

กับเราเรามี:

ii) คุณสมบัติ

- การบวกจำนวนตรรกยะมีสมบัติของการบวกเศษส่วน เช่น การสับเปลี่ยน การเปลี่ยนหมู่ การบวกด้วย 0 และการบวกด้วยค่าตรงข้าม

- เรามี:

ก) สมบัติการสับเปลี่ยน:

ข) คุณสมบัติการเชื่อมโยง:

ค) บวก 0:

ง) บวกเลขตรงข้าม:

iii กฎการเปลี่ยนผ่าน

เมื่อย้ายเทอมจากด้านหนึ่งของสมการไปยังอีกด้านหนึ่ง เราต้องเปลี่ยนเครื่องหมายของเทอมนั้น

ใน Q เราจะมีผลรวมพีชคณิต โดยที่เราสามารถสลับพจน์ ใส่เครื่องหมายวงเล็บเพื่อจัดกลุ่มพจน์ต่างๆ ตามที่คุณต้องการ เช่น ผลรวมพีชคณิตในเซตของจำนวนเต็ม

• ด้วยถ้าอย่างนั้น
• กับเราเรามี:

การคูณและการหารจำนวนตรรกยะ

ก) กฎสำหรับการคูณและการหารจำนวนตรรกยะสองจำนวน

- เราสามารถคูณและหารจำนวนตรรกยะสองจำนวนได้โดยเขียนเป็นเศษส่วน จากนั้นใช้กฎสำหรับการคูณและหารเศษส่วน

• กับเราเรามี:
• กับเราเรามี:

ตัวอย่างเช่น:

การคูณจำนวนตรรกยะ: 

การหารจำนวนตรรกยะ: 

ii) คุณสมบัติ

- การคูณจำนวนตรรกยะยังมีคุณสมบัติเช่นเดียวกับการคูณเศษส่วน นั่นคือ คุณสมบัติการสับเปลี่ยน คุณสมบัติการเปลี่ยนหมู่ คุณสมบัติการคูณด้วย 1 และคุณสมบัติการแจกแจงของการคูณเหนือการบวก

จำนวนตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวจะมีค่าผกผัน

- เรามี:

• สมบัติการสับเปลี่ยน: .
• คุณสมบัติการเชื่อมโยง: .
• สมบัติการคูณด้วย 1 : .
• คุณสมบัติการกระจาย : .
• กับ . ส่วนกลับของ a คือ

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนตรรกยะ

- ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนตรรกยะ a แสดงด้วย คือระยะทางจากจุด a ไปยังจุด 0 บนเส้นจำนวน

ตัวอย่างเช่น:

(เพราะ )

(เพราะ )

เปรียบเทียบจำนวนตรรกยะสองตัว

- กับจำนวนตรรกยะ 2 จำนวน เราจะได้ หรือ หรือ เสมอ

- ในการเปรียบเทียบจำนวนตรรกยะสองจำนวน เราทำดังต่อไปนี้:

• เขียนเศษส่วน 2 ตัวที่มีตัวส่วนบวกเท่ากัน:
• เปรียบเทียบตัวเศษเป็นจำนวนเต็ม a, b:

ตัวอย่าง:เปรียบเทียบจำนวนตรรกยะสองตัว: และ

เรามี:

เพราะมันดี.

สูตรคำนวณหาค่ากำลังของจำนวนตรรกยะ

สูตรคำนวณกำลังของจำนวนตรรกยะที่คุณควรจำ

• ผลคูณของกำลังสองที่มีฐานเดียวกัน:
• พลังแห่งพลัง
• พลังของผลิตภัณฑ์
• พลังแห่งผลหาร

จำนวนอตรรกยะคืออะไร?

แนวคิดเรื่องจำนวนอตรรกยะ

• เมื่อกล่าวถึงจำนวนตรรกยะ ย่อมหลีกเลี่ยงไม่ได้ที่จะต้องกล่าวถึงจำนวนอตรรกยะ ตัวเลขเหล่านี้เขียนในรูปแบบทศนิยมไม่ซ้ำกันและไม่สิ้นสุด แสดงด้วย
• จำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะไม่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนได้

ตัวอย่าง: 3.145248… เป็นจำนวนอตรรกยะ

สมบัติของจำนวนอตรรกยะ

เซตของจำนวนอตรรกยะเป็นเซตที่นับไม่ได้

ตัวอย่างเช่น:

จำนวนอตรรกยะ: 0.1010010001000010000010000001… (นี่คือทศนิยมไม่ซ้ำจำนวนอนันต์)

จำนวนรากที่สอง: √2 (รากที่สอง)

พาย (π): 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50 288…..

ความแตกต่างระหว่างจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะคืออะไร?

• จำนวนตรรกยะได้แก่ ทศนิยมซ้ำที่ไม่สิ้นสุด ในขณะที่จำนวนอตรรกยะคือทศนิยมซ้ำที่ไม่สิ้นสุดและไม่สิ้นสุด
• จำนวนตรรกยะเป็นเพียงเศษส่วน ในขณะที่จำนวนอตรรกยะมีจำนวนประเภทต่างๆ มากมาย
• จำนวนตรรกยะเป็นจำนวนนับได้ ในขณะที่จำนวนอตรรกยะเป็นจำนวนนับไม่ได้

ความสัมพันธ์ของชุดตัวเลข

สัญลักษณ์ของชุดตัวเลข:

• น.: เซตของจำนวนธรรมชาติ
• N*: เซตของจำนวนธรรมชาติอื่นที่ไม่ใช่ 0
• Z: เซตของจำนวนเต็ม
• ถาม: เซตของจำนวนตรรกยะ
• ฉัน: ชุดของจำนวนอตรรกยะ

เราได้: R = Q ∪ I.

ชุดที่ N; จ ; ถาม; อาร์.

จากนั้นความสัมพันธ์รวมระหว่างชุดตัวเลขคือ: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

แบบฝึกหัดเรื่องจำนวนตรรกยะ

แบบฟอร์มที่ 1: การคำนวณเกี่ยวกับจำนวนตรรกยะ

วิธีการทำโจทย์ : ทำโจทย์การคำนวณเกี่ยวกับจำนวนตรรกยะ โดยแปลงจำนวนตรรกยะให้เป็นเศษส่วนก่อน จากนั้นใช้กฎการคำนวณด้วยการบวก ลบ คูณ และหารของจำนวนตรรกยะ

ตัวอย่าง :การคำนวณ  

คำตอบ:

แบบฟอร์มที่ 2 : การแทนค่าจำนวนตรรกยะบนเส้นจำนวน

วิธีแก้: คุณต้องกำหนดว่าจำนวนตรรกยะเป็นจำนวนตรรกยะบวกหรือจำนวนตรรกยะลบ จากนั้นดำเนินการตามขั้นตอนต่อไป:

• ถ้าจำนวนตรรกยะ a/b เป็นจำนวนตรรกยะบวก บนเส้นจำนวน ในทิศทางบวก ให้หารความยาวของ 1 หน่วยเป็น b ส่วนเท่าๆ กัน จากนั้นกำหนดจุดบนทิศทางบวกของแกน Ox ชี้ส่วนหนึ่งและกำหนดตำแหน่งของจำนวนตรรกยะ a/b
• ถ้าจำนวนตรรกยะ a/b เป็นจำนวนตรรกยะลบ บนเส้นจำนวน ในทิศทางลบของแกน ให้หารความยาวของ 1 หน่วยออกเป็น b ส่วนเท่าๆ กัน จากนั้นกำหนดจุดบนทิศทางลบของแกน Ox ชี้ส่วนหนึ่งและกำหนดตำแหน่งของจำนวนตรรกยะ a/b

แบบฟอร์มที่ 3: การเปรียบเทียบจำนวนตรรกยะ

วิธีแก้: แปลงจำนวนตรรกยะที่กำหนดให้เป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นบวกเท่ากัน จากนั้นเปรียบเทียบตัวเศษ ในระดับขั้นสูงเราสามารถเปรียบเทียบกับเศษส่วนกลางเพื่อหาคำตอบได้

แบบฟอร์มที่ 4: กำหนดว่าจำนวนตรรกยะเป็นลบ บวก หรือ 0

วิธีการแก้โจทย์: ในการแก้ไขโจทย์ประเภทที่ 4 นักเรียนจะต้องใช้สมบัติของจำนวนตรรกยะเป็นฐานเพื่อระบุว่าจำนวนตรรกยะนั้นเป็นลบ บวก หรือ 0

ตัวอย่าง:กำหนดจำนวนตรรกยะ x = (a – 25)/29 จงกำหนดค่าของ a โดยที่:

• x เป็นลบ
• x เป็นบวก
• x = 0

คำตอบ:

x เป็นจำนวนลบ => (a – 25)/29 < 0=""> a – 25 < 0=""> a <>

x เป็นจำนวนบวก => (a – 25)/29 > 0 => a – 25 > 0 => a > 25

x = 0 => (a – 25)/29 =0 0 => a – 25 = 0 => a = 25

แบบฟอร์มที่ 5: หาจำนวนตรรกยะในช่วงตามเงื่อนไขที่กำหนด

เฉลย: หากคำถามต้องการหาจำนวนตรรกยะภายในช่วงตามเงื่อนไขที่กำหนด เราจำเป็นต้องใส่จำนวนตรรกยะลงในตัวเศษหรือตัวส่วนเดียวกันเพื่อหาคำตอบ

ตัวอย่าง:หาค่า m สำหรับค่าที่มากกว่าและน้อยกว่า

คำแนะนำคำตอบ

แปลงเศษส่วนเป็นตัวส่วนร่วมดังนี้:

ตัวส่วนร่วม: 18

ตามคำถามเรามี:

แบบฟอร์มที่ 6: หา x ด้วยจำนวนตรรกยะ

วิธีแก้โจทย์คณิตศาสตร์: ในโจทย์คณิตศาสตร์เพื่อหา x ด้วยจำนวนตรรกยะ จำเป็นต้องลดตัวส่วนร่วมและแปลง x เป็นข้างหนึ่ง และแปลงพจน์ที่เหลือเป็น 1 จากนั้นคำนวณค่าของ x

ตัวอย่าง: หา x โดยรู้ว่า x (2/ 3) + 5/ 6 = 1/ 8

คำตอบ:

เอ็กซ์ . (2/ 3) + 5/ 6 = 1/ 8

=> x. (2/ 3) = 1/ 8 + 5/ 6

=> x = 46/ 48 : 2/ 3

=> x = 23. 3 / 24 . 2

=> 23/16

แบบฟอร์มที่ 7: หา a เพื่อให้นิพจน์เป็นจำนวนเต็ม

วิธีการแก้โจทย์คณิตศาสตร์ : สำหรับโจทย์การหา a ถ้าตัวเศษไม่มี a เราจำเป็นต้องใช้เครื่องหมายการหารลงตัว หากตัวเศษมี ให้ใช้เครื่องหมายการหารหรือคั่นตัวเศษด้วยตัวส่วน หากปัญหาจำเป็นต้องค้นหาทั้ง a และ b ในเวลาเดียวกัน ให้จัดกลุ่ม a หรือ b แล้วแปลงเป็นรูปแบบเศษส่วนเพื่อการคำนวณ

ตัวอย่าง:หาจำนวนเต็ม a โดยมีเงื่อนไขว่า 8/(a – 1) เป็นจำนวนเต็ม

คำตอบ:

เงื่อนไข: a – 1 ≠ 0 => a ≠ 1

ให้ a เป็นจำนวนเต็ม => 8 หารด้วย (a – 1) ลงตัว

=> (a – 1) เป็นตัวประกอบของ 8 => U(8) = {-8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8}

=> (ก – 1) = {-8, -4, -2, -1, 2, 4, 8}

=> ก = {-7, -3, -1, 0, 3, 5, 9}

หวังว่าบทความข้างต้นจะช่วยให้คุณเข้าใจว่าจำนวนตรรกยะคืออะไร จำนวนอตรรกยะคืออะไร ประเภทของจำนวนตรรกยะ สัญลักษณ์ของจำนวนตรรกยะคืออะไร และวิธีการจดจำจำนวนตรรกยะเพื่อแก้ปัญหาได้อย่างง่ายดาย

นอกเหนือจากความรู้เกี่ยวกับจำนวนอตรรกยะและจำนวนตรรกยะที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว คุณยังสามารถศึกษาความรู้ทางคณิตศาสตร์อื่นๆ เช่นเศษส่วนจำนวนคละทศนิยม ...